INTEGRAL PARSIAL

INTEGRAL PARSIAL adalah salah satu teknik yang digunakan jika integran tidak dapat diintegralkan hanya dengan definisi integral (anti turunan). Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi.Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Contoh Integral

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

Turunan Perkalian

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Asal Integral Parsial

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut.

Teorema 1: Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka
Teorema Integral Parsial

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.


Panduan dalam Proses Integral Parsial

  1. Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran.
  2. Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya.

Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya.

Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Integral Parsial

Tentukan,

Contoh 1

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral tersebut ke dalam

Contoh 1 Bentuk Parsial

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Contoh 1 Kemungkinan

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.

Contoh 1 u dv

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Contoh 1 Integrasi

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk mendapatkan integran aslinya.

Catatan Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Contoh 1 Keterangan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = ex dengan v = ex + C1 kemudian terapkan proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Penerapan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar

Gambar
  Menentukan Volume dengan Metode Lempengan, Cakram dan Cincin pada Integral   Penggunaan integral berlanjut lebih jauh di luar penerapan untuk menentukan luas itu. Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan (pemotongan) sesuatu menjadi  potongan-potongan yang lebih kecil, menghampiri tiap bagian, melakukan  penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri dan integrasikan dapat digunakan untuk menentukan  volume  benda pejal asalkan volume dari setiap potogan mudah dihampiri. Apakah yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut  silinder tegak  (Gambar 1). Dalam  tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakan suatu daerah rata (alas) sejauh  h  dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan  h ; yakni V =  A  •  h Gambar 1 Berikutnya...
Baca selengkapnya

INTEGRAL TAK WAJAR

Gambar
  Integral Tak Wajar Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah Reimann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Batas pengintegralan berhingga b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]   Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut integral tak wajar Jenis-jenis integral tak wajar a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga   a.        Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga Definisi :   Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen Contoh Periksa kekonvergenan ITW b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga (i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang   Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen   (ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan Integ...
Baca selengkapnya

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Gambar
Integral Fungsi Rasional Dalam matematika, sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial.  Misalnya : f(x) = p(x)/q(x) Dekomposisi Fungsi Pecahan Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Misalnya f(x)= (5x-1)/(x2 -1) dirubah menjadi f(x) =2/(x-1) + 3/(x+1) Tahapan Dekomposisi Pecahan 1. Jika f (x) improper (bukan fungsi rasional sebenarnya) maka p(x) dibagi dengan q(x) sehingga f(x) =M(x) + N(x)/D(x) 2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terreduksi. 3. Setiap faktor berbentuk (ax + b)k buat dekomposisi A1/(ax + b)+ A2/(ax + b)2+ . . . + Ak/(ax + b)k  4. Setiap faktor berbentuk (ax2 + bx + c)m buat dekomposisi (B1x+C1)/  (ax2 + bx + c) + (B2x+C2)/  (ax2 + bx + c)2  + . . . + (Bmx+Cm)/  (ax2 + bx + c)m 5. Atur bentuk N(x)/D(x) sama dengan penjumlahan semua suku yang ditemukan pada langkah 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ...
Baca selengkapnya