Penerapan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar

 

Menentukan Volume dengan Metode Lempengan, Cakram dan Cincin pada Integral

 

Penggunaan integral berlanjut lebih jauh di luar penerapan untuk menentukan luas itu.

Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan (pemotongan) sesuatu menjadi  potongan-potongan yang lebih kecil, menghampiri tiap bagian,

melakukan  penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri dan integrasikan dapat digunakan untuk menentukan volume benda pejal asalkan volume dari setiap potogan mudah dihampiri.

Apakah yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak (Gambar 1).

Dalam  tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut.

Dan dalam tiap kasus volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan h; yakni

V =  A  • h
Gambar 1

Berikutnya perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis, memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b ( Gambar 2).

Kita pastisikan interval [a,b] dengan menyisipkan titik-titik {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<x_{3}\cdots <x_{n}=b}. Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik tegak lurus pada sumbu-x, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis ( Gambar 3).

Volume  suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder yakni :

{\displaystyle \Delta V_{i}\thickapprox A({\overline {x_{i}}})\Delta x_{i}}
Gamar 2
Gambar 3

“Volume” V dari benda-pejal dapat diaproksimasi dengan jumlah Riemann

{\displaystyle V\thickapprox \sum _{i=1}^{n}A({\overline {x_{i}}})\Delta x_{i}}

Ketika norma partisi mendekati nol, kita memperoleh suatu integral tentu; integral ini didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

{\displaystyle V=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx}

Menentukan Volume dengan Metode Cakram

Salah satu penggunaan integral adalah dalam menentukan volume benda ruang yang memiliki dua sisi yang sama. Bangun ruang seperti ini sering disebut benda putar.

Benda ruang hasil putaran yang paling sederhana adalah tabung tegak atau bisa kita sebut sebagai cakram, seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan R  dan t  secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.

Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.

Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar.

Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,

Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,

Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.

Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut.

Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai berikut.

Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.

Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x.

Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x). 


Menentukan Volume dengan Metode Cincin

Pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cakram.

Metode cakram tersebut dapat diturunkan menjadi metode yang lain, yaitu metode cincin (washer method), yaitu suatu metode yang menggunakan integral dalam menentukan volume benda putar yang memiliki lubang.

Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan jari-jari luar. 

 

 

sumber: https://risalandi.com/menentukan-volume-dengan-metode-lempengan-cakram-dan-cincin-pada-integral/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Subtitusi Trigonometri Tan & Sin

Gambar
Teknik Integral: Substitusi Trigonometri  Tan & Sin Teknik integral subtitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memiliki bentuk akar, sehingga dapat menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukannya dengan identitas phytagoras by   Yosep Dwi Kristanto Contoh 1: Substitusi Trigonometri Selesaikan, Pembahasan  Untuk menggunakan substitusi trigonometri, kita harus melihat bahwa  √(9 –  x ²) merupakan bentuk dari √( a ² –  u ²). Sehingga kita dapat menggunakan substitusi Sehingga, persamaan yang menghubungkan variable  x  dan θ di atas dapat dimodelkan ke dalam segitiga siku-siku sebagai berikut. Dengan menggunakan turunan dan segitiga di atas, kita mendapatkan Sehingga, dengan menggunakan substitusi dihasilkan   Perhatikan bahwa segitiga pada gambar di pembahasan Contoh 1 tersebut, dapat juga digunakan untuk mengubah θ kembali menjadi  x  sebagai berikut. Contoh 2 : Substitusi Tri...
Baca selengkapnya

INTEGRAL TAK WAJAR

Gambar
  Integral Tak Wajar Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah Reimann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Batas pengintegralan berhingga b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]   Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut integral tak wajar Jenis-jenis integral tak wajar a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga   a.        Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga Definisi :   Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen Contoh Periksa kekonvergenan ITW b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga (i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang   Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen   (ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan Integ...
Baca selengkapnya